Las progresiones geométricas son una secuencia de números donde los términos a partir del segundo se obtienen multiplicando la razón constante.
Algunas preguntas de matemáticas pueden ponerte la piel de gallina, ¿no? Pero, ¿alguna vez te has detenido a pensar que todas las cuentas dependen de fórmulas o alguna expresión numérica que facilita los cálculos? Pues bien, una de las secuencias numéricas existentes en matemáticas son las progresiones geométricas.
Pero después de todo, ¿qué significa eso? Una progresión geométrica es una sucesión en la que, a partir del segundo número, la razón entre los términos será igual al término anterior. Es decir, en un GP existe una constante q llamada ratio. Así, la progresión geométrica es el resultado de multiplicar la razón por el número anterior de la secuencia numérica.
Dado esto, la razón de progresión geométrica será la responsable del resultado del siguiente número en una secuencia. Así, la multiplicación del cociente q y el número de la sucesión numérica, a partir del segundo, será siempre el mismo. Además, la razón de una progresión geométrica siempre será un número racional . Es decir, puede ser un número positivo, negativo, fracciones, etc.
Clasificación de las progresiones geométricas
Para realizar los cálculos de una progresión geométrica es necesario utilizar la siguiente fórmula: a n = a1⋅qn−1 . En este sentido, n representa el número del término de secuencia; a 1 se refiere al término inicial y q es la razón.
En general, una progresión geométrica se puede clasificar de cuatro maneras. Así, podemos encontrar PG crecientes, decrecientes, oscilantes y constantes. Ante esto, vale recordar que a las progresiones geométricas negativas también se les llama alternantes debido a la alternancia que se da entre términos positivos y negativos.
En este sentido, tenemos una progresión geométrica creciente cuando un término de la sucesión es mayor que el otro. Así, el término de la sucesión debe ser necesariamente mayor que cero, al igual que la razón. Esto también ocurre si la progresión es negativa. En este caso, el término debe ser menor que cero, así como la relación. Tenga en cuenta los ejemplos:
- (4, 8, 16, 32…) – progresión geométrica creciente con relación q = 2;
- (-4, -2, -1, −12 …) – progresión geométrica descendente con relación q = 12 .
PG constante y oscilante
Una progresión geométrica se llama constante cuando los términos de la sucesión numérica son iguales. Esto ocurre cuando la relación es igual a 1 o cuando la relación no se determina, siendo 0. Cuando la relación no se determina, se vuelve nula. Reloj:
- (8, 8, 8, 8…) es una constante PG de relación q = 1.
- (0, 0, 0, 0…) es un PG constante de razón indeterminada.
Por otro lado, las progresiones geométricas son oscilantes cuando los términos son distintos de cero y dentro de la secuencia hay signos positivos y negativos. Por lo tanto, el término debe ser distinto de cero y la relación menor que cero. Reloj:
- (3, -6, 12, -24, 48, -96…) es un PG oscilante de relación q = -2.
- (-1, 1/2 , −1/4 , 1/8 , −1/ 16 …) es un GP oscilante de relación q = −1/2 .
Además, hay casos en los que una progresión geométrica es casi cero. Esto sucede cuando el primer término de la sucesión es diferente de cero y los demás términos son iguales a cero, como en este ejemplo: (8, 0, 0, 0, 0…) es un GP casi cero.
Suma de términos PG
Si es necesario calcular los términos de una progresión geométrica, se debe utilizar una fórmula, a saber:
Sn = a¹(qn – 1) / q – 1
En este sentido, el sn representa la suma de los números PG, que es lo que queremos averiguar. Entonces tenemos el primer término de la sucesión, a1; q se refiere a la razón y n es el número de elementos que tiene la progresión geométrica.
Entonces, observe cómo sería el cálculo en la práctica al calcular la suma de los primeros 10 términos del siguiente GP (1,2,4,8,16, 32,…):
S10 = 1(2¹⁰ – 1) / 2 – 1
S10 = 1023
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