Los poliedros son figuras geométricas que tienen caras planas. Además, se pueden clasificar en regulares y no regulares.
Los poliedros son figuras tridimensionales . Se forman uniendo polígonos regulares , en los que los ángulos poliédricos son todos congruentes.
De esta forma, la unión de los polígonos forma elementos que forman parte de la composición del poliedro: los vértices, aristas y caras. En resumen, el nombre poliedro proviene del latín poli = muchos y hedro = cara.
Es decir, son figuras con muchas caras , es decir, figuras tridimensionales donde es posible observar no solo el ancho y el largo, sino también la profundidad.
Por tanto, los poliedros se clasifican en pirámides o prismas , que son variaciones de la misma definición.
Sin embargo, vale la pena señalar que no todas las figuras tridimensionales son poliedros, un ejemplo de los cuales son las figuras con caras curvas conocidas como cuerpos redondos .
Por tanto, los poliedros son las pirámides, prismas y sólidos de Platón. Por otro lado, los no poliedros se conocen como cuerpos redondos o sólidos de revolución. Por ejemplo, el cono, el cilindro y la esfera.
En resumen, la fórmula matemática que relaciona los elementos de un poliedro se llama Euler . Los poliedros se dividen en dos grupos: poliedros convexos y no convexos.
Además, hay algunos poliedros que requieren una atención especial. Se les llama poliedros de Platón : tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro y finalmente icosaedro.
poliedros convexos
Los poliedros pueden ser de dos tipos: convexos y no convexos. Primero, un poliedro es convexo cuando está formado por polígonos convexos. Por lo tanto, se deben aceptar las siguientes condiciones:
-
Dos de los polígonos nunca son coplanares. Es decir, no pertenecen al mismo plano.
-
El plano que contiene cualquiera de estos polígonos deja a los demás polígonos en el mismo semiespacio.
-
Cada lado de uno de estos polígonos pertenece a solo dos polígonos.
Elementos de un poliedro convexo
Consideremos el siguiente poliedro convexo:
En ella tenemos:
1- Caras
En la figura, los cuadriláteros son las caras del poliedro . En este caso son: ABGF, AEJF, EJID, DIHC y BCGH.
2- Pentágonos
Las caras y la base del poliedro se llaman base pentagonal . Por tanto, son: ABCDE y FGHIJ.
3- Bordes
Las aristas son los segmentos que forman cada cara del poliedro. Por lo tanto, tenemos:
4->
Finalmente, los puntos donde se unen las aristas son los vértices . Ellos son: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
5- Segmento de línea
El segmento de línea JC se llama la diagonal del poliedro , denotada por:
JC>
Además, tenemos el ángulo poliédrico, formado entre las aristas, denotado por: BÂE.
Vale la pena señalar que un ángulo poliédrico se llama triédrico cuando las tres aristas se originan en un vértice . Además, se llama tetraédrica si las cuatro aristas parten de un vértice, y así sucesivamente.
Así que tenemos algunas notaciones:
-
Caras – F
-
Bordes – A
-
Vértices – V
Propiedades de un poliedro convexo
Algunas propiedades de un poliedro convexo son:
Propiedad 1
La suma de las aristas de todas las caras es igual al doble del número de aristas del poliedro. Por ejemplo, imagina que quieres determinar el número de aristas de un poliedro con 6 caras cuadradas.
De acuerdo con la propiedad 1, simplemente multiplique el número de aristas de una cara por el número de caras. Esto es equivalente al doble del número de aristas. Entonces tenemos:
dos . A = 4 . 6
A = 24/2
A = 12 aristas
propiedad 2
La propiedad 2 dice que: la suma de los vértices de todas las caras es igual a la suma de las aristas de todas las caras, que es igual al doble del número de aristas.
Supongamos que desea determinar el número de aristas de un poliedro con 5 ángulos tetraédricos y 4 ángulos hexaédricos.
Como ya sabes, la suma de las aristas de todas las caras es igual al doble del número de aristas. Dado que el número de aristas viene dado por el producto de 5 por 4 y 4 por 6, ya que hay 5 ángulos tetraédricos y 4 hexaédricos. De esa forma:
dos . A = 5 . 4+4 . 6
A = 44 / 2
A = 22 aristas
Poliedros cóncavos o no convexos
En resumen, un poliedro es no convexo, o cóncavo, cuando tomamos dos puntos en caras diferentes y la recta r que tiene estos puntos no está toda contenida en el poliedro.
Un ejemplo de esto es la siguiente imagen:
Tenga en cuenta que la línea (en azul) no está completa en el poliedro. Por lo tanto, el poliedro (en rosa) es cóncavo o no convexo.
poliedros regulares
En resumen, un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales entre sí y con todos los ángulos poliédricos iguales. Un ejemplo de esto es el cubo, ya que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.
De esa forma, todas sus caras son polígonos regulares. Ya que sus caras están formadas por cuadrados y las aristas son todas congruentes, es decir, tienen la misma medida.
Relación de Euler y qué son
La relación de Euler, o teorema de Euler, fue un resultado aprobado por Leonhard Euler (1707 – 1783) .
En resumen, garantiza que en todo poliedro convexo cerrado es válida la siguiente relación: V + F = A + 2
Así, se conoce como poliedro de Platón a todo aquel que cumple los siguientes criterios:
-
La relación de Euler es válida.
-
Todas las caras tienen el mismo número de aristas.
-
Finalmente, todos los ángulos poliédricos tienen el mismo número de aristas.
De todos modos, solo hay cinco poliedros regulares y convexos, son:
1- tetraedro regular
Primero, el tetraedro tiene 4 caras triangulares congruentes y 4 ángulos triédricos congruentes .
2- hexaedro regular
El hexaedro regular tiene 6 caras cuadradas congruentes y 8 ángulos triédricos congruentes.
3- Octaedro regular
En contraste, el octaedro tiene 8 caras triangulares congruentes y 6 ángulos tetraédricos congruentes.
4- dodecaedro regular
Mientras tanto, el dodecaedro regular tiene 12 caras pentagonales congruentes y 20 ángulos triédricos congruentes.
5- icosaedro regular
Finalmente, el icosaedro regular tiene 20 caras triangulares congruentes y 12 ángulos pentaédricos congruentes.
¿Tu sabia?
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Platón, al estudiar los poliedros regulares, enumeró cada uno de ellos con elementos referentes a la naturaleza. Como resultado, las figuras platónicas también se denominan sólidos platónicos;
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Pues bien, en su tratado filosófico titulado Timeo, Platón presenta la tierra, el aire, el agua y el fuego como un cubo, un octaedro, un icosaedro y un tetraedro, respectivamente. A su vez, el dodecaedro representa el universo ;
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Finalmente, el Teorema de Euler fue descubierto en 1758, sin embargo, en 1639, el filósofo René Descartes elaboró un manuscrito en el que presentaba la misma fórmula que la de Euler.
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