Operaciones con conjuntos – Representación y tipos

Las operaciones con conjuntos son operaciones realizadas sobre elementos que constituyen determinados conjuntos. Entender.

Las operaciones con conjuntos son lo que su nombre indica: operaciones matemáticas hechas a partir de varios elementos que constituyen un grupo. Así, tenemos, unión de conjuntos, intersección de conjuntos, diferencia entre conjuntos y conjunto complementario.

La operación, a su vez, se define como todo proceso realizado con una x cantidad de elementos que siguen una misma lógica. Como los números, que forman los   conjuntos numéricos.

Por lo tanto, tenemos:

• Números Naturales (N)
• Números enteros (Z)
• Números Racionales (Q)
• Números irracionales (I)
• Números Reales (R)

Aunque, además de los conjuntos numéricos, también existen conjuntos no numéricos, como el conjunto de letras del alfabeto: L = {a, b, c, d, e, f, g, h… x, y y z }

Así que hoy aprenderemos todo sobre conjuntos y operaciones con conjuntos. De todos modos, ¡vamos!

Representación de conjuntos

Primero, comprendamos cómo representar los conjuntos, lo cual se puede hacer aquí de tres maneras. La primera puede ser nombrando elementos. Como el conjunto de colores primarios: C = {rojo, amarillo y azul}.

La segunda por entender, en este caso, la representación se define por una característica común a todos los elementos del conjunto. Como por ejemplo: C = {colores primarios}.

Y finalmente, por el diagrama de Venn, que se define a partir de colecciones de curvas cerradas dentro de un plano donde los elementos se encuentran en las curvas. Así, tendríamos el conjunto de números primos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

operaciones con conjuntos

Además, ahora que conoces las representaciones, necesitamos conocer algunos símbolos necesarios para aplicar la relación entre elementos en operaciones con conjuntos.

Veamos cuáles son estos símbolos:

Así, a partir de los símbolos llegamos a las siguientes operaciones:

Entonces, ahora que entendemos qué es un conjunto y qué símbolos se usan, pasamos a los tipos de operaciones con conjuntos.

unión de conjuntos

La unión de conjuntos no es más que la unión de elementos de un conjunto con elementos de otros conjuntos, formando así un conjunto mayor. Así, cuando existan elementos que se repiten en más de un conjunto, se mencionarán una sola vez en el conjunto unión.

Por tanto, la unión de conjuntos es bastante sencilla, basta unir los elementos de A con los de B y representar la unión con el símbolo U.

Veamos un ejemplo:

Dados los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {0, 2, 4, 6, 8}, representa el conjunto unión (AUB).

Entonces el conjunto unión será:

(AUB) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

intersección de conjuntos

Ya la intersección o intersección de conjuntos, es un conjunto de elementos que pertenecen a dos o más conjuntos al mismo tiempo. Así, esta operación con un conjunto se representa con el símbolo ∩.

Aquí está el ejemplo:

Dados los conjuntos A = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {0, 2, 4, 6, 8}, representa el conjunto intersección (A ∩ B).

En este caso debemos encontrar los elementos comunes en los dos conjuntos. Por lo tanto, el conjunto de intersección será: (A ∩ B) = {0, 2, 4, 6}

Sin embargo, es importante señalar que el conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío. Por tanto, se puede representar de dos formas: A = { } o A = Ø.

Entonces, cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, la intersección entre ellos será un conjunto vacío. Por lo tanto, estos conjuntos se llaman disjuntos: A ∩ B = Ø

Diferencia entre conjuntos

Siguiendo la misma lógica, la diferencia entre conjuntos se refiere a los elementos presentes en un conjunto y no en el otro. Entonces, la diferencia entre A y B estará definida por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Por lo tanto, el conjunto de diferencias está representado por A – B (léase A menos B).

Mira el ejemplo:

Considere los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}. Ahora, identifique qué elementos se encuentran en el conjunto A, que no están en el conjunto B.

Como resultado, la diferencia entre conjuntos será: (A – B) = {5}

conjuntos complementarios

Finalmente, la operación de conjuntos complementarios, que está directamente relacionada con la diferencia entre conjuntos. Así, considere los conjuntos A y B, donde la diferencia de B y A es el conjunto de elementos de B que no se encuentran en el conjunto A.

Es decir, la diferencia entre los conjuntos, B – A, se llama complemento de A con respecto a B, y viceversa.

Así como en el siguiente ejemplo:

Considere los conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Por lo tanto, el complemento de A con respecto a B

es: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {6, 7, 8, 9, 10 }

Propiedades de Unión e Intersección

Cuando tenemos tres conjuntos, A, B y C, tenemos las siguientes propiedades:

propiedad conmutativa

• 
• 

propiedad asociativa

• 
• 

Propiedad distributiva

• 
• 

Si A está contenido en B:

• 
• 
• 

Finalmente, ahora que entendemos los conceptos básicos de las operaciones con conjuntos, ¿qué tal si pones en práctica lo aprendido con algunos ejercicios? Vamos allá.

Ejercicios

Ejercicio 1:

Considere los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Solución:

Inicialmente determinaremos los conjuntos A – B y B – A y luego realizaremos la unión entre ellos.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, yo}

Entonces (A – B) U (B – A) es:

{a, b, c} U{g, h, yo}

{a, b, c, g, h, yo}

Ejercicio 2:

Supongamos que AUB = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} y A – B = {a, b, c}, entonces:

a) segundo = {f, g, h}

b) segundo = {d, e, f, g, h}

c) segundo = { }

d) B = {d, e}

e) segundo = {a, b, c, d, e}

Solución:

alternativa b

En este sentido, ordenando los elementos en el diagrama de Venn-Euler, según el enunciado, tenemos:

Por tanto, el conjunto B = {d, e, f, g, h}.

De todos modos, ¿qué te pareció este artículo? ¿Qué tal saber más sobre el tema? Por cierto, aquí hablamos de conjuntos de números .