Presente en nuestra vida cotidiana, el conjunto de los números racionales está formado por números que se pueden escribir como fracción.
Probablemente hayas oído hablar de los números racionales, ¿verdad? Además, ¿sabes qué son y cómo se escriben? Seguro que aprenderás bastante en este asunto, por último, no tienes que tener miedo, además de no ser un animal de siete cabezas, también te lo explicamos de forma fácil.
En primer lugar, el conjunto de los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción. Además, también decimal finito y también decimal infinito y periódico.
Por el contrario, el conjunto de números racionales se ha utilizado durante miles de años. Ciertamente lo usamos para representar cantidad y medida . Para que entiendas bien, este conjunto de números está representado por el símbolo Q.
Además, se incluye en el conjunto de los números naturales (N) y los enteros (Z).
Así: N⊂Z⊂Q
Pronto:
N está contenido en Z,
Z está contenido en Q,
N está contenido en Q.
- El conjunto de los números naturales (N) es N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}
- El conjunto de enteros (Z) es Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}
- El conjunto de los números racionales (Q) es Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -dos; -1,55…; -1; -0,422…; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9.6}
Ciertamente podemos decir que los números racionales están formados por números enteros, decimales exactos y decimales periódicos.
Subconjuntos de números racionales
Primero, de antemano, los números racionales también tienen subconjuntos, verifique a continuación:
Conjunto de números racionales distintos de cero
Q*= {x∈Q/x≠0}
Por ejemplo: Q* = {…+2,5; -dos; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; +2.5…}
NOTA: El (*) significa que el cero no pertenece al conjunto porque es el elemento nulo.
Conjunto de números racionales no negativos
Q+= {x∈Q/x≥0}
Por ejemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5…}
Conjunto de números racionales positivos y distintos de cero
Q++= {x∈Q/x>0}
Por ejemplo: Q++ = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5…}
Conjunto de números racionales no positivos
Q−= {x∈Q/x≤0}
Por ejemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0}
Conjunto de números racionales negativos y distintos de cero
Q−*= {x∈Q/x<0}
Por ejemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1}
Sobre todo, destaquemos ahora la fracción. Pero, al fin y al cabo, ¿de qué se trata?
¿Qué es fracción?
Sobre todo, una fracción corresponde a una división entre números enteros. Además, se representa así:
un/b
Además, al ser los números “a” y “b” números enteros y el número “b” siempre será distinto de cero. Entonces, después de esta definición, podemos representar los números racionales de la siguiente manera:
Q= {a/b | a∈Z, b∈Z*}
Finalmente, dice: el conjunto de los números racionales está compuesto por fracciones de “a” por “b”. Mientras tanto, «a» es un número entero y «b» es un número entero distinto de cero.
Números que se pueden escribir como fracción
Inicialmente, ya sabemos que los números racionales son todos los números que se pueden escribir como una fracción. Sobre todo, para demostrar que un número es racional solo es necesario demostrar que existe una forma de escribirlo de esta forma. Entonces pueden ser:
-
las fracciones mismas
En resumen, cualquier fracción es un número racional. Porque, por supuesto, ya está escrito en la forma necesaria para eso.
-
los numeros enteros
Primero, para escribir cualquier número entero como una fracción, simplemente divídalo por 1. Simple, ¿verdad? Porque todo número dividido por 1 es igual a sí mismo. Así, podemos dar un ejemplo del número -3, que es un número entero y en forma de fracción se convierte en:
– 3/1
-
decimales finitos
Sobre todo, cualquier decimal finito. Es decir, tiene un número limitado de decimales. Además, se puede escribir como una fracción. Sobre todo, recuerda que todo decimal finito es el resultado de una división por alguna potencia de base 10.
Por ejemplo: 2.455 es un decimal finito que tiene tres lugares decimales. Por lo tanto, significa que una de las fracciones equivalentes tiene un denominador igual a 10 3 . Entonces esta fracción es:
2.455 = 2455/10 3
Además, elimina la coma y divide ese número por una potencia de base 10 y exponente igual al número de decimales.
-
diezmos periódicos
Primero, un decimal periódico es un número decimal racional que tiene una repetición dentro de los decimales. Por ejemplo:
1.7777….
Por lo tanto, es un decimal periódico del período 7.
1.656565…
Por lo tanto, es un decimal periódico de período 65.
0.45939393…
Por lo tanto, es un decimal periódico de período 62 y antiperíodo 45.
Finalmente, un decimal periódico siempre se puede escribir como una fracción. Para esto, toma el ejemplo del decimal 2.363636…
Además, ahora, vea: el período de este decimal es 36, observe que hay dos dígitos en este período. Primero, iguala este decimal ax y lo multiplica por 10 2 ( 10 2 = 100); y en la sucesión resta ambas, podremos transformarla en fracción. Sobre todo, cabe señalar que el exponente de la potencia en base 10 siempre será igual al número de cifras del periodo (en el caso mencionado 2).
Así:
x = 2.363636…
100x = 236.3636…
100x – x = 236,3636… – 2,363636…
Ahora, a su vez, restando la parte decimal, vemos que por ser iguales, serán cero. Vea:
99x = 236 – 2
99x = 234
Entonces, encontraremos la fracción generadora:
99x = 234
x = 234/99
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