Los números irracionales forman el conjunto numérico de números decimales, infinitos y no repetidos. Infórmate de estos números.
En resumen, los números se dividen en grupos según sus características básicas. Así tenemos los números enteros positivos, más presentes en nuestro día a día (1,2,3,4…), utilizados para cálculos básicos. Además, también tenemos los números racionales , que son las fracciones 1/2, 2/3, 5/4, etc., y también los números irracionales, que son distintos a todos estos.
Por lo tanto, los números irracionales no pueden ser el resultado de dividir dos números enteros y no pueden representarse mediante fracciones irreducibles . Entonces, el conjunto de los números irracionales está formado por los números decimales , que a su vez son infinitos y no repetitivos.
Así, el conjunto de los números irracionales se representa con la letra I (mayúscula). Por cierto, para entender mejor, hoy hablaremos más sobre este conjunto de números. ¡Vamos allá!
Origen de los números irracionales
Los números irracionales surgieron después de la creación de los números racionales, que se crearon para dividir objetos. Así, cuando se creó la recta numérica , cada uno de los puntos correspondía a un solo número real.
A partir de esto, los matemáticos se dieron cuenta de que había algunos huecos en esta recta numérica y que ningún número racional podía corresponder a este hueco. Hasta que encontraron una solución: estos espacios deben llenarse con infinitos números decimales que no se repiten. Y así nacieron los números irracionales.
Al mismo tiempo, también se descubrió que algunos de estos números decimales podrían ser raíces no exactas. Este descubrimiento fue un hito muy importante, especialmente para la geometría . Y esto queda muy claro al hablar del Teorema de Pitágoras, que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Aquí hay un ejemplo del uso del Teorema de Pitágoras:
Descubrimiento de los números irracionales por el teorema de Pitágoras.
Fuente: Guía del estudiante
En este ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado con un lado mediano de 1 será √2. Sin embargo, el resultado de esta raíz es un número decimal infinito y no periódico, es decir, un número irracional.
Como no es posible llegar al valor exacto de la raíz , lo máximo que podemos obtener es un número muy cercano, pero no el valor exacto.
Entonces, al extraer su raíz cuadrada , obtenemos el siguiente resultado:
- √2 = 1.414213562373…. (infinito y no repetitivo)
Otros ejemplos de números irracionales:
- √3 = 1.732050807568….
- √5 = 2.236067977499…
- √7 = 2.645751311064…
Números irracionales y decimales periódicos
Los decimales periódicos tienen una representación decimal infinita, sin embargo, no es común considerarlos como números irracionales. Esto se explica por el hecho de que, aunque contienen infinitos decimales, se siguen representando mediante fracciones, y los números racionales no.
Por lo tanto, los decimales periódicos siempre tienen la misma secuencia de repetición.
Veamos el ejemplo del número 0.333…, a pesar de ser un decimal infinito, todavía se puede escribir como una fracción irreducible, porque:
Por lo tanto, los decimales periódicos son números racionales.
Clasificación de números irracionales
Además, los números de este conjunto se clasifican en dos tipos: algebraicos y trascendentales. Veamos cada uno de ellos a continuación:
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1. Números irracionales algebraicos
Un número solo será algebraico si satisface una ecuación algebraica de coeficientes enteros.
Por ejemplo:
La raíz cuadrada de 2 (√2) se puede escribir como x 2 – 2 = 0, por lo que es algebraica irracional.
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2. Números irracionales trascendentes
El número irracional trascendental es un número real o complejo que no es la raíz de ninguna ecuación polinomial con coeficientes enteros.
Como por ejemplo:
- El número pi (π) , descubierto al dividir la longitud de un círculo por su diámetro. Siendo el más famoso de los números trascendentes.Π = 3.141592653589793238462…
- El número de Neper, descubierto por John Napier, representado por y , también se considera un número irracional trascendental. Siendo aproximadamente igual a 2.718281.
- El número áureo (proporción divina), representado por Phi (ϕ). Su valor es ϕ = 1.618033… Este número se encuentra a través de la proporción áurea, siguiendo la secuencia de Fibonacci.
Conjuntos numéricos
Como se vio anteriormente, hay varios conjuntos de números, cada uno representado por una letra. Así, el conjunto de los números irracionales está representado por I, mientras que el conjunto de los números reales, representado por R, es la unión de los números racionales (Q) y los números irracionales (I).
Por lo tanto, todos los números naturales (N) , enteros (Z), números racionales e irracionales son todos reales .
Fuente: Guía didáctica
De todos modos, ¿qué te pareció este artículo? Entonces, ¿qué tal conocer un poco más sobre la vida de Pitágoras?