Números Enteros – Qué son, relación de inclusión y subconjuntos

Los números enteros constituyen el conjunto numérico compuesto por números positivos, negativos y cero. Obtenga más información sobre este conjunto.

El sistema numérico fue creado para cuantificar las cosas. De esta forma surgieron los números, y dentro de todo el conjunto numérico, se encuentran los llamados números enteros. Por tanto, se entiende por número entero cualquier numeral que no sea decimal , es decir, todos los números naturales y los opuestos aditivos.

Así, los enteros positivos y negativos constituyen el conjunto de los enteros, representado por el símbolo Z. Sin embargo, el conjunto de los enteros es infinito, tanto para los números negativos como para los positivos.

= {…,- 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…}

En ese sentido, el cero es un número neutro, por lo que no se define como negativo o positivo.

Además, debido a que son infinitos, todos los números enteros tienen un predecesor y un sucesor. El sucesor siempre será el número que viene después. Por ejemplo, el sucesor de 2 es 3, pero el sucesor del número -2 es 0 -1, ya que -1 viene después de -2.

Entonces, hoy vamos a aprender todo sobre este conjunto de números. Vamos allá.

Relación de inclusión

Debido a la variedad de conjuntos numéricos que se complementan, se pueden representar mediante un diagrama de Venn. Al igual que el ejemplo a continuación, que muestra la relación de inclusión entre el conjunto de números enteros y el conjunto de números naturales (N) , que no incluyen números negativos.

La relación de inclusión en el conjunto de los enteros involucra al conjunto de los números naturales (N).
Fuente: Toda la materia

Por tanto, entendemos que si un número es natural, también es entero.

Representación en la recta numérica

El conjunto de enteros se puede colocar en una recta numérica. De esta forma, usamos el número cero como punto de origen y usamos una unidad de medida para marcar los números enteros en la línea.

Por lo tanto, la única regla de esta recta numérica es que los números están ordenados en una secuencia creciente. Como se muestra en el siguiente ejemplo:

Números enteros en la recta numérica.
Fuente: Escuela de Educación

En esta línea, los números negativos siempre están antes del cero y los números positivos después del cero. A partir de esto, es posible notar una simetría entre los números opuestos. Como el número -3 por ejemplo, que tiene la misma distancia al 0 que el número 3.

Entonces, una forma de saber si un número es opuesto o simétrico a otro, es midiendo la distancia de ambos con relación al cero.

Subconjuntos de números enteros

Sin embargo, también hay subconjuntos de números enteros, que son:

  • ℤ* : es el subconjunto de los enteros, a excepción del cero, es decir, ℤ* = {…, -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, …}
  • : Conjunto de enteros no negativos, es decir, ℤ +  = {0, 1, 2, 3, 4, …}
  • ℤ* : es el subconjunto de los números enteros, con la excepción de los negativos y el cero. ℤ* +  = {1,2,3,4,5…}
  • ℤ _ : es el subconjunto de enteros no positivos, es decir, ℤ_= {…, -4,-3,-2,-1, 0}
  • ℤ* _  : son números enteros, excepto los positivos y el cero, es decir ℤ*_= {…, -4,-3,-2,-1}.

Nota: el uso de (*) significa que el número cero no pertenece al conjunto.

Subconjunto de N contenido en Z en números enteros.
Fuente: Portal Exacto

Divisibilidad

En cuanto a la divisibilidad de estos números, tenemos una regla: un número entero  x , distinto de 0, es divisible por otro número  y , si la división de estos números es exacta, es decir, tiene un resto de cero.

Veamos los ejemplos:

  • 12 es divisor de 4, porque 12 ÷ 4 = 3.
  • 8 es divisor de 2, porque 8 ÷ 2 = 4.

Cuando esto ocurre, decimos que  y  es divisible por  x  o que  y  es un múltiplo de  x .

 

Fuente: 2 en 1 Comunicación y Educación

Finalmente, aquí hay algunos ejercicios sobre el tema:

ejercicios con numeros enteros

Ejercicio 1

Considere el conjunto A = {-8, -2, 0, 1/2, 5, 9}, indique en este conjunto qué números pertenecen al conjunto de los enteros.

Respuesta: El conjunto de enteros se representa por Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Las elipses indican que el conjunto es infinito para ambos lados. Entonces tenemos que los números enteros son los números negativos y positivos, más cero. Por lo tanto, en el conjunto A anterior, tenemos -8, -2, 0, 5 y 9 son números enteros.

Ejercicio 2

Calcula la diferencia entre los enteros positivos con el conjunto de enteros.

Respuesta: Los enteros positivos están representados por Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

Por tanto, Z – Z+ = {x ∈ Z | X ≤ 0} o Z = {…, -6, -5, -4, -3, -2, -1}

Ejercicio 3

Encuentre el sucesor y el predecesor de los siguientes números enteros:

a) 26 = predecesor: x – 1 = 26 – 1 = 25

sucesor: x + 1 = 26 + 1 = 27

b) -84 = predecesor: x – 1 = -84 – 1 = -85

sucesor: x + 1 = -84 + 1 = -83

c) 203 = predecesor: x – 1 = 203 – 1 = 202

sucesor: x + 1 = 203 + 1 = 204

d) -3 = predecesor: x – 1 = -3 – 1 = -4

sucesor: x + 1 = -3 + 1 = -2

e) 0 = predecesor: x – 1 = 0 – 1 = -1

sucesor: x + 1 = 0 + 1 = 1

De todos modos, ahora que sabes todo sobre este conjunto de números, aprovecha para aprender también sobre los números primos .