La media geométrica es el valor medio solicitado en situaciones de incrementos sucesivos, habituales en cálculos de porcentaje y geometría.
La media geométrica es un mecanismo utilizado matemáticamente para representar situaciones en las que se producen incrementos sucesivos en un mismo conjunto . En otras palabras, es un concepto estadístico muy utilizado en las matemáticas financieras.
Se utiliza, entre otras funciones, para comparar prismas y cubos que tienen el mismo volumen, así como cuadrados y rectángulos con áreas iguales. Además, también se puede aplicar en situaciones de acumulación de tasa porcentual, es decir, situaciones de porcentaje bajo porcentaje.
Fórmula para calcular la media geométrica
El cálculo de la media geométrica consiste en hallar la raíz enésima obtenida del producto de los elementos. Se utiliza para definir el valor medio de una serie de datos sucesivos. Por ejemplo, para encontrar entre 2, 3, 4 y 7, necesitas multiplicar los cuatro valores y luego sacar la raíz cuarta del resultado obtenido inicialmente. Vea abajo:
METRO gramo = √ 4 2 · 3 · 4 · 7
METRO gramo = √ 4 168 METRO gramo ≈ 3,6
El primer paso es contar el número de términos presentes en el problema, para elegir qué raíz se va a sacar. De esta forma, tomar la media geométrica con cinco elementos, por ejemplo, es elegir, al final, la raíz quinta del valor obtenido de la multiplicación entre los valores.
Se puede solicitar otra aplicación en una situación de comparación entre polígonos, como en la imagen de abajo. ¿Cuál sería el valor de x de los lados del cuadrado?
En esta situación, usaríamos la media geométrica. Como resultado, el área del rectángulo sería la raíz cuadrada de la multiplicación entre 4 · 6,25.
METRO gramo = √ 25
METRO gramo = 5
Entonces el lado del cuadrado mediría 5.
Este es el método más común, generalmente utilizado cuando tenemos una calculadora cerca.
Por otro lado, el otro método que se puede utilizar es el del factoring.
método de factorización
El segundo método de la media geométrica le permite desfactorizar cada valor para facilitar el cálculo.
Entonces, para encontrar la media geométrica de {3,25,27}, podemos:
3 = 3 25 = 5² 27 = 3³
METRO gramo = √ 4 3 · 5² · 3³ METRO gramo = √ 4 3 4 · 5² METRO gramo = 3 · √ 4 25 METRO gramo = 3 · 2,23 METRO gramo ≈ 6,69
Luego, otro ejemplo para aplicar implica porcentajes . Cierto producto, durante cuatro meses, tuvo varios incrementos consecutivos de 25%, 15%, 10% y 20%, respectivamente. ¿Cuál es el promedio de estos aumentos al final del cuarto mes?
Una ventaja de los cálculos proporcionales es que el valor se puede transformar en formas decimales, lo que facilita la simplificación de los cálculos. Por tanto, podemos utilizar el siguiente razonamiento: el valor total del producto, antes de incrementos, correspondía al 100%. Si en el primer mes creció un 25%, entonces tenemos un 125% o 1,25.
Siguiendo esta lógica, los otros tres incrementos fueron del 115% (1,15), 110% (1,1) y 120% (1,2). Por lo tanto, podemos sacar la raíz enésima (cuarta) del producto entre los valores decimales:
METRO gramo = √ 4 1,25 · 1,15 · 1,1 · 1,2
METRO gramo = √ 4 1,8975 METRO gramo ≈ 1,173
Media geométrica y media aritmética
Para el cálculo de datos estadísticos, es importante saber qué tipo de promedio se puede utilizar para obtener valores centrales.
Así, la media geométrica debe utilizarse cuando los datos están en progresión geométrica , es decir, sucesivamente y con datos sin definiciones exactas.
Por otro lado, la media aritmética se puede utilizar en otros casos, es decir, sin que los datos estén colocados en orden creciente. Por ejemplo, para calcular las notas escolares medias entre cuatro hermanos (7,8; 8,5; 6,9 y 9,2) podemos sumar las cuatro medidas y dividir el valor final entre cuatro. El resultado promedio sería entonces 8.1.
MA = 7,8 · 8,5 · 6,9 · 9,2 / 4
MAS = 8.1
Esta es la media aritmética del tipo simple, es decir, que no tiene repetición de datos.
Media aritmética ponderada
A diferencia de ésta, la media aritmética ponderada presenta esta repetición y los cálculos también varían.
Digamos que entre los cuatro máximos goleadores de un campeonato de fútbol, el balance fue de 17 goles entre los dos primeros, 14 goles del tercero y 11 goles del cuarto y quinto. En consecuencia, ¿cuál sería la media aritmética de goles en este campeonato?
Como hay repetición de valores, los elementos que se repiten (x 1 ) se deben multiplicar por el número de veces que se repiten (k 1 ), lo que se debe hacer entre todas las repeticiones, y sumarlas. Luego, el resultado debe dividirse por el número total de repeticiones.
M PA = (17 · 2) + 14 + (11 · 2) / 2 + 2
PA M = 34 + 14 + 22 / 4 PA = 17,5
Por tanto, la media de goles entre los máximos goleadores de la liga fue de 17,5 goles.
Espero que hayas aprendido cómo calcular una media geométrica y cuándo usarla. Si te gustó el artículo, mira también qué es la media aritmética.