El máximo común divisor, o MCD; entre dos o más números naturales es el mayor de sus divisores. Dos números naturales siempre tienen divisores en común.
En matemáticas existen varias fórmulas y formas de hacer cálculos. Uno de los términos que aprendimos durante los estudios está relacionado con el máximo común divisor, conocido como MCD. Así, el término se refiere al mayor de los divisores entre dos o más números naturales . Es decir, son números que, al dividirlos entre sí, el total será cero.
Por lo tanto, una de las formas de encontrar el MCD es usando el Teorema Fundamental de la Aritmética. En este sentido, el teorema se deriva de la descomposición de números en factores primos. Es decir, la descomposición sugiere que el número compuesto puede escribirse como números primos , siendo el producto de estos mismos números.
Sin embargo, el máximo común divisor debe contener divisores, los números más grandes entre los números naturales encontrados, que aparecen al mismo tiempo en la descomposición. Así, cuando la división es exacta, siendo cero el total del cálculo, significa que el número propuesto es el divisor del número dado.
Cálculo del máximo común divisor
Para calcular el MDC se pueden seguir dos vías, la descomposición en factores primos o la descomposición simultánea. Por lo tanto, para descomponer usando los factores primos, es necesario observar algunas reglas. Están:
- Descomponer los números dados en factores primos;
- Tome los factores primos comunes con sus exponentes más pequeños;
- Haz los productos de estos factores.
Para que las reglas se vean en la práctica, analicemos el máximo común divisor de los números 16 y 24. Así, tenemos:
- 16 = 2x2x2x2 = 2 4
- 24 = 2x2x2x3 = 2³x3
Así, por ejemplo, es posible calcular que los factores comunes entre los dos números presentados son 2 4 y 2³. De esta forma, se calcula el exponente más pequeño, siendo 2³ = 8. Por lo tanto, el MCD (16; 24) = 8. Es decir, el número 8 es el número natural más grande para la división de los dos números dados.
Aquí es importante recalcar que dos números son primos cuando el máximo común divisor entre ellos es 1.
Descomposición simultánea
Otra forma de calcular GCD es por descomposición simultánea. Así, el método consiste en dividir constantemente los números dados por el menor factor primo. Y, si el número no es divisible por el factor más pequeño, se repite en el cálculo.
De esta forma, el resultado de multiplicar los números, que son factores primos comunes, son los factores divisibles dado el menor tiempo. Podemos analizar este método en el siguiente ejemplo:
180; 240; 270 | dos
90; 120; 135 | dos
45; 60; 135 | dos
45; 30; 135 | 3
15; 5; 45 | 3
5; 5; 15 | 3
5; 5; 5 | 5
1; 1; 1 |
Así, como resultado tenemos: MCD (180; 240; 270) = 2 x 3 x 5 = 30. En este caso, se puede ver que el cálculo se hizo tomando el menor número primo, 2, y dividiéndolo . Luego divide por el siguiente número hasta que el resultado final sea 1. Sin embargo, cuando los números no se pueden dividir, se repiten, como con 135.
En este sentido, GCD está relacionado con la multiplicación de números primos que podrían dividir todos los números dados al mismo tiempo.
propiedades MDC
- Cuando se dan dos o más números, el MCD de estos números será el divisor encontrado que coincida con todos los números. Así, como ejemplo tenemos: MCD (3; 6; 12) = 3. 3 es divisor de 6 y 12, por lo que es el máximo común divisor;
- Recuerda que dos números consecutivos son primos entre sí. Es decir, MCD (25, 26) = 1. El mayor número que divide a 25 y 26 es 1. Entonces, es el mayor divisor entre 25 y 26.
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