El logaritmo es una operación matemática que está directamente relacionada con las ecuaciones exponenciales y tiene como objetivo encontrar el exponente que hace que la base sea igual a lo que llamamos logaritmo.
El logaritmo es una operación matemática que se utiliza para encontrar el exponente que debe tener una determinada base para dar como resultado una potencia .
Definición de logaritmo
El logaritmo es una operación matemática. Está directamente relacionado con las ecuaciones exponenciales. Ya que la intención es encontrar el exponente que hace que la base sea igual a lo que llamamos un logaritmo.
En la práctica, se resuelven ecuaciones exponenciales. Sin embargo, con esta operación vienen propiedades importantes que ayudan con las resoluciones.
Así, para solucionarlo, es muy importante dominar el funcionamiento y las propiedades existentes para ello. Ya que son muy similares a las propiedades de las potencias.
Además, para que esta operación esté bien definida, existen algunas restricciones para el valor de la base y el logaritmo llamado condición de existencia .
De todos modos, llamamos al logaritmo de a en base b , representado por log a b , el valor x, tal que a elevado a x es igual a b .
Por ejemplo, cuando escribimos log 2 8 (leer logaritmo de 8 en base 2), estamos buscando el número al que debemos elevar 2 para que la respuesta sea igual a 8.
Log 2 8 = 3, porque 2³ = 8.
En general, la operación se define por:
x → logaritmo
b → fondo
a → logaritmo
Atención : Cuando no escribimos la base, siempre es igual a 10, es decir, Log a (se lee como el logaritmo de a en la base decimal).
Casos especiales de logaritmos
Ahora que conoces la definición, veamos algunos casos particulares.
- log b 1 = 0, ya que a 0 = 1.
Cualquier número elevado a la potencia de 0 es igual a 1. Por tanto, el logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a 0.
Ejemplo numérico: log 8 1 = 0, porque 8 0 = 1.
- log b b = 1, ya que b 1 = b.
Todo número elevado a 1 es él mismo. Por lo tanto, el logaritmo de base y el logaritmo igual son siempre iguales a 1.
Ejemplo numérico: log 5 5 = 1, porque 5¹ = 5.
- Si log b a = log b c, entonces a = c, ya que b x = a y también b x = c.
Dos logaritmos con la misma base son iguales si y solo si el logaritmo es igual.
Ejemplo numérico: sabiendo que log b 8 = log b a, entonces a = 8.
- log b b n = n, ya que, por definición, b n = b n .
Este caso es una aplicación de la definición, ya que la base llevada al logaritmo es igual al logaritmo.
Ejemplo numérico: log 2 2³ = 3, porque 2³ = 2³.
Condición de existencia
Hay algunas restricciones en los valores de base y logaritmo.
En resumen, la base de un logaritmo debe ser siempre un número positivo y distinto de 1, y el logaritmo debe ser siempre un número positivo. En forma algebraica tenemos:
registro b a
Como a y b son números reales, tales que: a > 0 y b > 0 y b ≠ 1.
Como resolver
Algunos logaritmos se pueden resolver directamente, simplemente por definición. Pero hay otros que requieren el dominio de las ecuaciones exponenciales.
Además, si es necesario, consulta la tabla de logaritmos decimales para saber el valor que no podemos calcular en base a una ecuación exponencial.
Ejemplo 1
Para calcular log 3 243, sigue el paso a paso:
1er paso
Aplica la definición para transformar el logaritmo en una ecuación exponencial.
Sea log 3 243 = x, luego 3 x = 243.
2do paso
Haga coincidir las bases cuando sea posible.
3x = 3 5 → x = 5
Ejemplo 2
Calculemos el logaritmo a continuación.
En base a los dos pasos del ejemplo anterior, es necesario aplicar la definición e intentar emparejar las bases. Siendo así:
propiedades de los logaritmos
Como hay casos en los que la aplicación de la definición no es suficiente para resolverlos, se han desarrollado ciertas propiedades que facilitan esta resolución .
Por lo tanto, el dominio de estas herramientas es indispensable para resolver problemas sobre este tema y para usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales con diferentes bases .
Por ejemplo, consideremos X e Y dos números reales positivos diferentes de 1 para todas las siguientes propiedades:
1ra propiedad: producto
logaritmo b (XY) = logaritmo b X+ logaritmo b Y
En resumen, el logaritmo de un producto se puede separar sumando el logaritmo de la misma base de cada uno de los factores.
2ª propiedad: cociente
Esta propiedad es muy similar a la anterior. De esta forma, el cociente se puede separar restando los logaritmos con la misma base del numerador por el denominador, en ese orden.
3ra propiedad: potencia
Iniciar sesión segundo X norte = norte . registro b X
Finalmente, siempre que haya un exponente en el logaritmo, el logaritmo de una potencia será igual a la multiplicación de ese exponente por el logaritmo.
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