Geometría Espacial - Conceptos, figuras geométricas y curiosidades

La geometría espacial estudia sólidos geométricos tridimensionales, es decir, aquellos con ancho, largo y alto. Aprende más sobre esta área de las matemáticas.

La geometría espacial es el campo de las matemáticas que estudia los objetos geométricos en el espacio. Así, el espacio se entiende como el lugar donde podemos encontrar todas las propiedades geométricas tridimensionales de una figura.

Así, mientras que la geometría plana estudia objetos bidimensionales, en la geometría espacial se analizan figuras con tres dimensiones, es decir, largo, ancho y alto. Entonces, la diferencia entre estas dos áreas de las matemáticas está en el volumen.

Así, la geometría espacial está presente tanto en las matemáticas como en nuestra vida cotidiana. Por cierto, muy presente, a través de objetos y estructuras que nos rodean.

Por eso hoy vamos a aprender más sobre esta área de las matemáticas. Por ello, abordaremos los principales conceptos y las principales figuras geométricas. Vamos allá.

Conceptos Básicos de Geometría

La Geometría Espacial estudia todos los objetos que tienen más de una dimensión dentro del espacio. Por lo tanto, estamos hablando de objetos llamados “sólidos geométricos” o “figuras geométricas espaciales”. Así, a través de la geometría espacial, podemos determinar, mediante cálculos matemáticos, el espacio que ocupan estos objetos, es decir, su volumen.

Así, antes de comenzar con las figuras geométricas espaciales en sí, es necesario conocer algunos conceptos básicos. Entonces, vayamos a ellos:

Punto: concepto fundamental a todos los posteriores, ya que todos ellos están formados por innumerables puntos. Así, los puntos son infinitos y no tienen dimensión medible (adimensionales). Entonces, su única propiedad garantizada es su ubicación;
Línea: compuesta de puntos, la línea es infinita en ambos lados y determina la distancia más corta entre dos puntos determinados, es decir, tiene solo longitud;
Línea: la línea, sin embargo, es diferente del concepto de línea recta. Porque a pesar de estar formada por puntos, la línea puede ser curva o no. Por ejemplo, la circunferencia está formada por una línea curva;
Vértice: el vértice es un punto que define el encuentro de los segmentos de recta que forman los lados de los sólidos geométricos;
Plano: los planos son regiones infinitas bidimensionales, es decir, bidimensionales.

Sin embargo, además de los de punto, línea y plano, también utilizados en geometría plana, debemos tener en cuenta otros conceptos dentro de la geometría espacial. Por lo tanto, podemos mencionar:

“Por tres puntos no colineales pasa un solo plano.”
“Cualquiera que sea el plano, hay infinitos puntos en ese plano e infinitos puntos fuera de él”.
“Si dos planos distintos tienen un punto en común, entonces la intersección entre ellos es una línea recta”.
“Si dos puntos de una línea se encuentran en un plano, entonces esa línea se encuentra en ese plano”.

Figuras Geométricas Espaciales

Así, entre los principales sólidos geométricos estudiados en geometría espacial, podemos mencionar los siguientes: el cilindro, el cubo, el dodecaedro, el tetraedro, el octaedro , el icosaedro, el cono, la esfera, el paralelepípedo y la pirámide .

Por eso, a estas figuras se les llama poliedros , precisamente porque son figuras tridimensionales, que tienen alto, ancho y largo.

Por tanto, vamos a conocer las propiedades de cada una de estas figuras:

Cilindro

Primero, el cilindro , que es un poliedro con dos bases circulares congruentes, con lados circulares.

Así, los elementos principales de un cilindro son:

Base: dos bases con forma circular y, además, paralelas entre sí;
Radio: las bases son círculos que tienen una medida desde el centro hasta el final, llamado radio;
Generatriz: los generadores son segmentos de línea recta que forman el lado del cilindro;
Directriz: la directriz es el punto en la base de la generatriz que indica la dirección de la generatriz.
Área de la base: A _b = π . r²
Área lateral: A _l = 2. π. R. H
Área total: A _t = 2 . A _b + A _l
Volumen: V = A _b . H

Cubo

El cubo es un hexaedro regular, es decir, tiene 6 caras con las mismas medidas. Y eso incluye el área de las caras, los ángulos y el número de aristas. Es decir, un ejemplo de figura geométrica perfecta.

Así, el cubo está formado por los siguientes elementos:

12 aristas congruentes;
6 caras cuadradas;
4 diagonales internamente en el cubo;
8 vértices;
24 ángulos rectos.
Área lateral: 4a ²
Superficie total: 6a ²
Volumen: aaa = un ³

Dodecaedro

El dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras pentagonales.

Por lo tanto, tiene:

30 bordes;
12 caras pentagonales;
20 vértices;
Área Total: 3√25+10√5a ²
Volumen: 1/4 (15 + 7√5) a ³

tetraedro

El tetraedro es un poliedro regular compuesto por 4 caras triangulares.

Por lo tanto, contiene:

6 bordes;
4 caras triangulares;
4 vértices;
Área total: 4a ² √3/4
Volumen: 1/3 Ab.h

octaedro

El octaedro es un poliedro regular de 8 lados formado por triángulos equiláteros.

Por lo tanto, formado por:

12 bordes;
8 caras;
6 vértices;
Área total: 2a ² √3
Volumen: 1/3 a ³ √2

icosaedro

El icosaedro es un poliedro convexo compuesto por 20 caras triangulares.

Como tal, consta de:

30 bordes;
20 caras triangulares;
12 vértices;
Área total: 5√3a ²
Volumen: 5/12 (3 + √5) a ³

Cono

El cono tiene forma de pirámide.

Por lo tanto, está formado por los siguientes elementos:

La base es un círculo que tiene un radio;
Los segmentos de línea que forman los lados del cono;
El vértice es un punto que no pertenece al plano de la base;
Área de la base: A _b = π . r²
Área lateral: A _l = π . r g (donde “g” es la medida de la generatriz)
Área total: A _t = π. R. (g + r)

Pelota

La esfera está limitada por ser una superficie esférica.

Por lo tanto, tiene algunos elementos diferentes de otras figuras geométricas espaciales. Siendo ellos:

Superficie esférica: es la región superficial de la esfera;
Cuña esférica: es una región entre dos semicírculos;
Husillo Esférico: es una parte de la esfera que se obtiene al girar un semicírculo en cierto ángulo;
Casquete esférico: es una parte de la esfera cortada por un plano perpendicular al eje de rotación;
Polos: son puntos en los extremos del eje de rotación de la esfera;
Paralelo: es un círculo perpendicular al eje de rotación de la esfera;
Meridiano: es un círculo en la superficie en la misma dirección que el eje de rotación de la esfera.

Por lo tanto, tenemos:

Área total: A = 4 . π r²
Volumen: V = ⁴ / ₃ . π. r³

Piedra pavimentada

Un paralelepípedo es un poliedro formado por paralelogramos. Así, las caras opuestas son paralelas, formadas por ángulos rectos.

De esta forma tenemos:

6 caras;
8 vértices;
12 bordes;
Área de la base: A _b = b . H
Área lateral: A _l = 2(ac + bc)
Área total: A _t = 2(ab + ac + bc)
Volumen: V = a. B. C

Pirámide

Es un poliedro de base poligonal, en el que los lados están formados por polígonos triangulares.

Por lo tanto, tiene:

Bordes laterales: segmentos de línea desde la base hasta el vértice;
Caras laterales: formadas por triángulos ;
Bordes base: segmentos de línea que conectan los vértices;
Altura de la pirámide: definida por el vértice;
Apotema de la pirámide: altura de la cara de la pirámide;
Área lateral: A = (b . h)/2
Área total : A _T = A _B + A _L
Volumen: V = ¹ / ₃ . A _B _ H

Curiosidad por la geometría del espacio

Sin embargo, entre los poliedros presentados aquí, cinco de ellos, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro se denominan “Sólidos Platónicos”.

Así, todas estas figuras son poliedros convexos, es decir, todas sus caras son polígonos regulares congruentes formados por aristas. Sin embargo, el nombre «sólido platónico», es un homenaje a Platón , quien fue el primer matemático que demostró la existencia de estos cinco poliedros regulares.

Ejercicios

Así que, ahora que ya conoces el concepto de geometría espacial y figuras geométricas, aprovecha para poner a prueba tus conocimientos con algunos ejercicios. Por cierto, echa un vistazo a algunos a continuación.

Ejercicio 1

Se sabe que el radio de la Tierra es igual a 6.371 km. Entonces, calcula el área de la superficie del planeta Tierra.

Respuesta:

Como la Tierra es una esfera, entonces podemos usar la fórmula de la esfera para calcular el área superficial de un objeto esférico, es decir:

A = 4πr² = 4 x 3,14159 x 6,371² = 510.064.041,1 km²

Por lo tanto, la superficie terrestre es aproximadamente: 510.064.041,1 km²

Ejercicio 2

(PUC RS/2013) Un desafío matemático construido por estudiantes del Curso de Matemática tiene las piezas en forma de cono. Por tanto, la siguiente figura representa la planificación de una de las partes construidas. Por lo tanto, el área de esta pieza es de __ cm².

b) 16pi

c) 20pi

d) 28pi

e) 40pi

Respuesta:

El área de la pieza es equivalente a la suma del área de la base y el área lateral, ya que es un achatamiento de un cono.

Por tanto, el área de la base del cono viene dada por la fórmula:

Un _segundo = π. r² = 4 ² π = 16π

El área lateral está dada por la fórmula:

Un _l = r. gramo. π = 4. 6 π = 24π

El área total del cono es la suma de las áreas de la base y el lado, así:

En = 16π + 24π = 40π

respuesta D.

Finalmente, ahora que sabe más sobre geometría espacial, es posible que desee profundizar más en el tema. Por cierto, aprenda más sobre geometría analítica aquí .