Las funciones matemáticas son relaciones entre dos conjuntos no vacíos, donde cada elemento de un conjunto está relacionado solo con el elemento del otro.
A menudo nos preguntamos acerca de los conceptos matemáticos y cómo podemos aplicarlos en la realidad. El caso de las funciones matemáticas no escapa a este desafío. Comúnmente, las personas tienen dificultades para comprender cómo se utilizan las funciones matemáticas en la vida cotidiana.
Por ejemplo: en una ciudad, el precio de un litro de Etanol en una gasolinera cuesta R$ 3,00. Así, una persona que compre 3 litros de Etanol en esa gasolinera pagará R$ 9,00. Sin embargo, si esa misma persona quiere comprar 5 litros, pagará R$ 15,00.
Si, por casualidad, decide llenar el tanque de su automóvil con 40 litros de etanol, el precio a pagar será, por lo tanto, de R$ 120,00. Así, el precio total de compra depende de la cantidad de litros comprados, es decir, el precio a pagar se basa en la cantidad de litros.
Por lo tanto, tenemos dos cantidades en una relación de dependencia. Por cada litro de Etanol, tenemos un valor en Reales que corresponde al precio. De esa forma, cada vez que aumenta el valor de los litros, también aumenta el precio.
Este, entonces, es el concepto matemático de una función.
Definición de funciones
Una función matemática es una relación entre dos conjuntos no vacíos en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado con un solo elemento del segundo conjunto.
Además, dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función es una regla que dice cómo asociar cada elemento de A con un solo elemento de B.
Dominio, Rango e Imagen
También utilizaremos el ejemplo de la gasolinera para hablar de Dominio, Alcance e Imagen.
En este ejemplo tenemos el conjunto de la cantidad de litros ofertados y el conjunto del valor en números naturales de cada litro. Así, el Dominio de esta función sería el conjunto de todos los números de litros posibles a suministrar.
El rango de la función, a su vez, sería el conjunto de valores en reales pagados por cada litro. La imagen de esta función, por tanto, es el valor de la cantidad de litros escogida en cuestión.
Funciones Inyectivas
Una función es inyectiva cuando diferentes elementos de un conjunto A se transforman en diferentes elementos de un conjunto B. Es decir, en las llamadas funciones inyectivas, no hay ningún elemento en B que sea imagen de más de un elemento en A.
Función sobreyectiva y biyectiva
Por el contrario, una función es sobreyectiva cuando cualquier elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. En la función sobreyectiva, por tanto, todos los elementos del conjunto B están relacionados con algún elemento del conjunto A.
En una función inyectiva, cada elemento de A está relacionado con algún elemento de B. En la función sobreyectiva ocurre lo contrario; cada elemento de B está relacionado con un elemento de A.
Una función es biyectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Siempre que esto sucede, solemos decir que existe una correspondencia biunívoca entre A y B.
Funciones compuestas
Para hablar de una función compuesta, necesitamos tomar tres conjuntos A, B y C. Supongamos que f es una función que relaciona cada elemento de A con un elemento de B, y g una función que lleva cada elemento de B a un elemento de c
La función compuesta es una relación que lleva cada elemento de A directamente a un elemento de C.
función par e impar
La idea de función par está directamente ligada a la simetría. Usaremos la función cuadrática x² como ejemplo: la gráfica de f(x) = x² es una parábola que es simétrica con respecto al eje y. Entonces f es una función par si y solo si f(x) = f(-x).
Esto también sucede con la función impar, pero en el caso de la función impar, la gráfica deberá ser simétrica con respecto al origen del sistema cartesiano (el punto O de coordenadas (0,0)).
En el caso de la función x³: la gráfica de f(x)= x³ es simétrica respecto al Punto O. Por tanto, f es una función impar si y sólo si f(-x) = -f(x).
Funciones ascendentes y descendentes
Una función es creciente si y solo si, en un intervalo dado x1 y x2 donde x2>x1, sus respectivas imágenes, f(x1) y f(x2), también tienen f(x2)>f(x1). Es decir, cuando un intervalo en el dominio es creciente, el intervalo tiene imágenes que también son crecientes.
Por otro lado, en una función decreciente ocurrirá lo contrario a la función creciente. Así, cuando un intervalo en el dominio es creciente, las respectivas imágenes del intervalo deben ser decrecientes. Es decir, en un intervalo x1 y x2 donde x2>x1, tenemos f(x2)>f(x1).
Función constante
Una función es constante cuando, para cualquier valor de dominio, el valor de la imagen sigue siendo el mismo.
De todos modos, ¿qué te pareció este artículo? Recomiendo leer Pitágoras – quién fue, biografía, aportes a la filosofía y las matemáticas.