La función exponencial se define como aquella en la que la variable está en el exponente y la base siempre es mayor que cero y difiere de uno.
En nuestra vida diaria, hay varias situaciones en las que el uso de la función exponencial es bastante propicio. Esto se debe a que es posible desarrollar gráficos que utilicen funciones exponenciales como una forma de observar el comportamiento de situaciones cotidianas, como preguntas que involucran interés compuesto.
En matemáticas financieras, por ejemplo, las funciones exponenciales se utilizan para analizar el interés de un producto determinado. Además, también se pueden utilizar para observar la reproducción de cultivos bacterianos , así como el comportamiento de los nuevos casos de Covid-19 .
Todos los ejemplos citados son casos que se aproximan a un comportamiento exponencial, es decir, donde hay un incremento porcentual constante en un periodo de tiempo. En este caso, la ley de formación de la función exponencial viene dada por la fórmula: f(x) = a x donde los resultados generan, dependiendo del valor de la base “a”, una gráfica creciente o decreciente.
Definición de función exponencial
La función exponencial se define como aquella en la que la variable está en el exponente y la base siempre es mayor que cero y difiere de uno.
Así, la definición exponencial está formada por: f: ℝ → ℝ* +, donde el dominio está compuesto por un conjunto de números reales y el rango es el conjunto de números reales positivos distintos de 0.
Otra forma de ejemplificar la función del exponente es: f (x) = a x . En este caso, “a” siempre representa un número real positivo, por ejemplo, f(x) = 2 x y f(x) = 0,3 x . Aquí, f(x) representa la variable dependiente, que también se puede representar por y, y la variable independiente se representa por x.
Tipos de funciones
La ley de formación de la función exponencial está representada por la fórmula: f(x) = a x donde los resultados generan, dependiendo del valor de la base “a”, una gráfica creciente o decreciente.
Por tanto, la división de ambos casos es bastante sencilla. En la función exponencialmente creciente , la base siempre será un número mayor que 1 (a > 1). Aquí, vale la pena recordar que cuanto mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y.
La función exponencial decreciente ocurre cuando la base está representada por un número mayor que 0 y menor que 1 (0 < a < 1). Por lo tanto, cuanto mayor sea el valor de x, menor será el valor de y.
Construcción de la gráfica exponencial
La gráfica de la función exponencial se construye después de encontrar el valor de x. En este caso, hay dos opciones, el gráfico exponencial ascendente y descendente. En el gráfico creciente, el valor de x siempre crecerá muy rápido en comparación con la función.
Esto se debe a que el valor de x presenta números reales positivos mayores que 0, que representan el codominio de la función. Por tanto, la gráfica puede aproximarse al eje x, pero no tocará valores negativos o iguales a 0, ya que el dominio de la función no puede ser negativo.
En cambio, en la gráfica descendente, la base siempre será menor que 1, es decir, 0 < a < 1. A pesar de ser descendente, la forma de construir la gráfica será la misma utilizada en la función creciente, donde la se necesita encontrar el valor de x para que se complete el entrenamiento gráfico.
Propiedades de la función exponencial
La función exponencial presenta cuatro propiedades específicas, las cuales se delimitan en la formación de gráficas. La primera de las propiedades exponenciales es: f(0) = 1, donde la base de los números distintos de 0 elevados a 0 siempre será igual a 1. Por ejemplo: f(0) = a 0 =1.
La segunda propiedad es la inyectiva. Esto quiere decir que distintos valores de y van acompañados de un valor de x, lo que hace que f(x) sea igual a y. En este caso, los diferentes valores de x representan una imagen diferente, es decir, f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) con x 1 ≠ x 2.
La tercera propiedad se refiere a la formación de la gráfica exponencial, que puede ser creciente o decreciente. Como ya hemos visto, una gráfica creciente se compone cuando la base es mayor que 1 (a > 1) y descendente cuando la base está compuesta por un número menor que 1 y mayor que 0 (0 < a < 1).
Finalmente, la cuarta propiedad es la definición de que la gráfica que representa la función exponencial nunca puede cruzar el eje x. Esto significa que, por pequeño que sea el valor de la imagen, la gráfica nunca llegará a 0. Con esto, existe la posibilidad de que la gráfica tienda a 0, pero no hay ningún valor de x que haga que la función sea igual a 0. .
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