Una función biyectiva realiza el papel de un inyector y una función de sujeto simultáneamente, y también se denomina función de identidad.
Si bien una función se puede definir como una regla que conecta elementos entre un conjunto y otro individualmente, tiene varias clasificaciones. En resumen, las funciones pueden ser: simples, inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Sin embargo, en este texto en cuestión el foco estará exclusivamente en la función biyectiva.
Pues bien, también llamada biyección o biyección, una función es biyectiva cuando desempeña un papel simultáneo de inyección y sobreyección. Por lo tanto, para comprender coherentemente una biyección, es necesario conocer los conceptos y especificidades que rodean a las funciones de inyección y sobreyección.
Además de explorar las funciones inyectiva (también llamada inyectiva o inyección) y sobreyectiva (conocida como sobreyectiva o sobreyectiva), comprender bien una función biyectiva requiere un conocimiento completo de los elementos que constituyen una función, como la imagen, el dominio y el rango.
Dominio, rango e imagen
Dado que una función se define como una relación entre dos conjuntos cualesquiera , que pueden ser A y B, se requiere una regla para asociar cada elemento de A con un único elemento de B. Así, en lenguaje matemático , esta relación se describiría como f : A → B.
Mientras que el conjunto A se llama dominio de la función, B es el rango. Además, es importante señalar que existe una diferencia entre la función f, que es la función misma, y f(x) que es el valor que adquirirá la función en un punto x dado de su dominio.
Así, por cada valor de x perteneciente al dominio A, existe un valor y – o f(x) – que pertenecerá al codominio B. En consecuencia, el codominio puede llamarse “imagen”, ya que tiene una relación con los elementos del dominio.
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Se dice que una función es inyectiva cuando cada elemento del dominio tiene una imagen única y distinta. Entonces, un ejemplo de una función uno a uno es f(x) = 2x. Dado que no hay dos puntos en el dominio que estén conectados al mismo punto en la imagen, se considera inyectivo.
Por el contrario, la función f(x) = x² no es inyectiva. Para verificar esto, simplemente use elementos opuestos del dominio, por ejemplo, 2 y -2. Así, reemplazando x por 2 y -2 el resultado es el mismo, contrario a la regla de la función de inyección e indicando dos puntos del dominio conectados al mismo punto en la imagen. Vea el ejemplo a continuación:
f(x) = x²
f(2) = 2 2 = 4
f(– 2) = (– 2) 2 = 4
Por otro lado, una función sobreyectiva es aquella en la que un mismo elemento del codominio puede tener varias correspondencias en el dominio. Matemáticamente hablando, esta función se puede representar como f: A → B, si y solo si: Por cada y o f(x) perteneciente a B existe una x perteneciente a A.
Habiendo aclarado las especificidades de las funciones inyectiva y sobreyectiva, es posible comenzar a estudiar la función biyectiva.
función biyectiva
En el caso de una función biyectiva, el rango es igual al rango y, simultáneamente, distintos elementos del dominio tienen rangos distintos. De esta forma, cada elemento del dominio se vincula a un solo elemento de la imagen, y viceversa. Además, todos los elementos pertenecientes al co-dominio se relacionarán con algunos del dominio.
En lenguaje matemático, una función biyectiva se describe como: f: R → R. Sin embargo, en lugar de que f(x) sea igual a y, f(x) = x. Como resultado, esta función se denomina función de identidad, ya que hace que se utilicen todos los elementos de rango.
Si bien no hay dos elementos distintos del dominio relacionados con el mismo elemento de la imagen, por lo tanto, la función es biyectiva.
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